Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{3 x^{3}}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = 1$ e $g (y) = x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.5

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $x^{3}$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 3 (x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.9

Sottrai $3 x^{2} x'$ da $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.10.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{x^{6}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.11

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.11.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 x^{2} x'$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{6}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.11.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x'}{x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} (- \frac{3 x'}{x^{4}}) + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3 x'}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 x'}{3 x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.14

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 x'}{3 x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.2.14.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x^{7}}{10}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{10} \frac{d}{d y} [x^{7}]$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} \frac{d}{d y} [x^{7}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{7}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6} \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6} x')$

Passaggio 3.3.4

$7$ e $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{7}{10} (x^{6} x')$

Passaggio 3.3.5

$x^{6}$ e $\frac{7}{10}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{x^{6} \cdot 7}{10} x'$

Passaggio 3.3.6

$\frac{x^{6} \cdot 7}{10}$ e $x'$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{x^{6} \cdot 7 x'}{10}$

Passaggio 3.3.7

Sposta $7$ alla sinistra di $x^{6}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{7 x^{6} x'}{10}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = \frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}}$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ .

$\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$10, x^{4}, 1$

Passaggio 5.2.2

Poiché $10, x^{4}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $10, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{4}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

$10$ presenta fattori di $2$ e $5$ .

$2 \cdot 5$

Passaggio 5.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.6

Il minimo comune multiplo di $10, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2 \cdot 5$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10$

Passaggio 5.2.8

I fattori di $x^{4}$ sono $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $4$ volte.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $4$ volte.

Passaggio 5.2.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{4}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Passaggio 5.2.10

Semplifica $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Passaggio 5.2.10.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Passaggio 5.2.10.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Passaggio 5.2.10.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Passaggio 5.2.10.3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.3.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Passaggio 5.2.10.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 1}$

Passaggio 5.2.10.3.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4}$

Passaggio 5.2.11

Il minimo comune multiplo di $10, x^{4}, 1$ è la parte numerica $10$ moltiplicata per la parte variabile.

$10 x^{4}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $10 x^{4}$ ciascun termine in $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ per $10 x^{4}$ .

$\frac{7 x^{6} x'}{10} (10 x^{4}) - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$10 \frac{7 x^{6} x'}{10} x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$10 \frac{7 x^{6} x'}{10} x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$7 x^{6} x' x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2.1.3

Moltiplica $x^{6}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Sposta $x^{4}$ .

$7 (x^{4} x^{6}) x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$7 x^{4 + 6} x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2.1.3.3

Somma $4$ e $6$ .

$7 x^{10} x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x'}{x^{4}}$ nel numeratore.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2.1.4.2

Scomponi $x^{4}$ da $10 x^{4}$ .

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (x^{4} \cdot 10) = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (x^{4} \cdot 10) = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$7 x^{10} x' - x' \cdot 10 = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.2.1.5

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$7 x^{10} x' - 10 x' = 1 (10 x^{4})$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $10 x^{4}$ per $1$ .

$7 x^{10} x' - 10 x' = 10 x^{4}$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $x'$ da $7 x^{10} x' - 10 x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $x'$ da $7 x^{10} x'$ .

$x' (7 x^{10}) - 10 x' = 10 x^{4}$

Passaggio 5.4.1.2

Scomponi $x'$ da $- 10 x'$ .

$x' (7 x^{10}) + x' \cdot - 10 = 10 x^{4}$

Passaggio 5.4.1.3

Scomponi $x'$ da $x' (7 x^{10}) + x' \cdot - 10$ .

$x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $7 x^{10} - 10$ ciascun termine in $x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $7 x^{10} - 10$ ciascun termine in $x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$ .

$\frac{x' (7 x^{10} - 10)}{7 x^{10} - 10} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7 x^{10} - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (7 x^{10} - 10)}{7 x^{10} - 10} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$