Calcolo Esempi

$y = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - \cos (x)$ e $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) + 1 (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $1 - \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 1 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.3.1

Combina i termini opposti in $1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 1 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 3.7.3.1.1

Sottrai $\cos (x) \sin (x)$ da $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 \sin (x) + 0 + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7.3.1.2

Somma $1 \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{1 \sin (x) + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.7.3.2.1

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7.3.2.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7.3.3

Somma $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{2 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$