Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x - 4}{x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 4}{x^{3}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 4$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{3} (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.7.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{3 x^{3} - (3 x - 4) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{3} + (- 3 (3 x) - 3 \cdot - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x) x^{2} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.3.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x)) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x^{1})) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{2 + 1}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.3.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{3}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.3.2

Sottrai $9 x^{3}$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.4

Scomponi $6 x^{2}$ da $- 6 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Scomponi $6 x^{2}$ da $- 6 x^{3}$ .

$\frac{6 x^{2} (- x) + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.4.2

Scomponi $6 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.4.3

Scomponi $6 x^{2}$ da $6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)$ .

$\frac{6 x^{2} (- x + 2)}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Scomponi $x^{2}$ da $6 x^{2} (- x + 2)$ .

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{6}}$

Passaggio 3.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.5.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 (- x + 2)}{x^{4}}$

Passaggio 3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{6 (- (x) + 2)}{x^{4}}$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{4}}$

Passaggio 3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{6 (- (x - 2))}{x^{4}}$

Passaggio 3.3.9

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{6 (- 1 (x - 2))}{x^{4}}$

Passaggio 3.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$