Calcolo Esempi

$y = e^{3 x \tan (7 x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{3 x \tan (7 x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x \tan (7 x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x \tan (7 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x \tan (7 x)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x \tan (7 x)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x \tan (7 x)$ .

$e^{3 x \tan (7 x)} \frac{d}{d x} [3 x \tan (7 x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x \tan (7 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x \tan (7 x)]$ .

$e^{3 x \tan (7 x)} (3 \frac{d}{d x} [x \tan (7 x)])$

Passaggio 3.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x \tan (7 x)}$ .

$3 \cdot e^{3 x \tan (7 x)} \frac{d}{d x} [x \tan (7 x)]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \tan (7 x)$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x \frac{d}{d x} [\tan (7 x)] + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $7 x$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $7 x$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) (7 \cdot 1)) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $7$ per $1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (\sec^{2} (7 x) \cdot 7) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5.3.2

Sposta $7$ alla sinistra di $\sec^{2} (7 x)$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \cdot \sec^{2} (7 x)) + \tan (7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \sec^{2} (7 x)) + \tan (7 x) \cdot 1)$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $\tan (7 x)$ per $1$ .

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \sec^{2} (7 x)) + \tan (7 x))$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 e^{3 x \tan (7 x)} (x (7 \sec^{2} (7 x))) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $7$ per $3$ .

$21 e^{3 x \tan (7 x)} x \sec^{2} (7 x) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 21 e^{3 x \tan (7 x)} x \sec^{2} (7 x) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 21 e^{3 x \tan (7 x)} x \sec^{2} (7 x) + 3 e^{3 x \tan (7 x)} \tan (7 x)$