Calcolo Esempi

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x - 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$u_{lower} = - 2 - 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$u_{lower} = - 3$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$3^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $3^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

Passaggio 5

$\frac{1}{2}$ e $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ .

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ per $1$ e per $- 3$ .

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

Passaggio 6.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ come un prodotto.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $\frac{1}{27}$ per $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ per $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Passaggio 6.2.7

Combina.

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.9

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 6.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.10

$\ln (3)$ e $\frac{1}{27 \ln (3)}$ .

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.11

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 6.2.11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.12

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.13

$3$ e $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.15

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.15.1

Moltiplica $3$ per $27$ .

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.15.2

Sottrai $1$ da $81$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.16

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (3)$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

Passaggio 6.2.17

Riscrivi $\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ come un prodotto.

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

Passaggio 6.2.18

Moltiplica $\frac{80}{27}$ per $\frac{1}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

Passaggio 6.2.19

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

Passaggio 6.2.20

Elimina il fattore comune di $80$ e $54$ .

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Passaggio 6.2.20.1

Scomponi $2$ da $80$ .

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

Passaggio 6.2.20.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.20.2.1

Scomponi $2$ da $54 \ln (3)$ .

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

Passaggio 6.2.20.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

Passaggio 6.2.20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Forma decimale:

$1.34850255 \dots$

Passaggio 8