Calcolo Esempi

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 1 + \csc (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \csc (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $\cot (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.2.1

Scomponi $\csc (x)$ da $1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1.1

Scomponi $\csc (x)$ da $1 (- \csc^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.2

Scomponi $\csc (x)$ da $\cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.3

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.4

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.2

Scomponi $- 1$ da $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.3

Scomponi $- 1$ da $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.6.1

Moltiplica $- \csc (x)$ per $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.9

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\csc (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \csc (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.10.1

Moltiplica $- \csc (x) \csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.10.1.1

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.10.1.2

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.10.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- {\csc (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.10.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.10.2

Riscrivi $- 1 \csc (x)$ come $- \csc (x)$ .

$\frac{- \csc^{2} (x) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1

Scomponi $\csc (x)$ da $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.1

Scomponi $\csc (x)$ da $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3.1.2

Scomponi $\csc (x)$ da $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3.1.3

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \csc (x) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3.2.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- (\csc (x)) - 1 (1)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) + 1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

$\frac{\csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- \csc (x) (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.4

Elimina il fattore comune di $\csc (x) + 1$ e ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

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Passaggio 3.10.4.1

Riordina i termini.

$\frac{- \csc (x) (1 + \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.4.2

Scomponi $1 + \csc (x)$ da $- \csc (x) (1 + \csc (x))$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.4.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.10.4.3.1

Scomponi $1 + \csc (x)$ da ${(1 + \csc (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Passaggio 3.10.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Passaggio 3.10.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Passaggio 3.10.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$