Calcolo Esempi

$y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.1

Moltiplica $- \sin (x)$ per $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2.1.3

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2.1.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2.2

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2.3

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1

Elimina il fattore comune di $- \sin (x) - 1$ e ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x)$ .

$\frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.3.1.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sin (x)) - 1 (1)$ .

$\frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.3.1.4

Riscrivi $- (\sin (x) + 1)$ come $- 1 (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.3.1.5

Riordina i termini.

$\frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.3.1.6

Scomponi $1 + \sin (x)$ da $- 1 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9.3.1.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1.7.1

Scomponi $1 + \sin (x)$ da ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Passaggio 3.9.3.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Passaggio 3.9.3.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 3.9.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$