Calcolo Esempi

$y = \frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{\cos (x)}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{\cos (x)}$ come $\cos^{- 1} (x)$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$5 (- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Passaggio 3.2.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$5 (- \cos^{- 2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$5 (1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $\cos^{- 2} (x)$ per $1$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]$

Passaggio 3.3.3

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 3.3.4

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 3.4.2

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$5 \sec^{2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 3.4.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.3.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 3.4.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 3.4.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 3.4.3.4

$5$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 3.4.3.5

$\frac{5}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \csc^{2} (x)$

Passaggio 3.4.3.6

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 3.4.3.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.3.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.4.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.4.2

Frazioni separate.

$\frac{5}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.4.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.4.4

Frazioni separate.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.4.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{5}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.4.6

Dividi $5$ per $1$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.4.7

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4.4.8

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 3.4.4.9

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$