Calcolo Esempi

$y = {(x - \ln (x))}^{7}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - \ln (x))}^{7})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x - \ln (x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - \ln (x)$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \cdot 1 + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$ .

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Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - 7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{1}{x}$

Passaggio 3.4.3.2

$\frac{1}{x}$ e $- 7$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7}{x} {(x - \ln (x))}^{6}$

Passaggio 3.4.3.3

$\frac{- 7}{x}$ e ${(x - \ln (x))}^{6}$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Passaggio 3.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Passaggio 3.4.5

Per scrivere $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x}{x} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Passaggio 3.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Passaggio 3.4.7

Scomponi $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ da $7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ .

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Passaggio 3.4.7.1

Scomponi $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ da $7 {(x - \ln (x))}^{6} x$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Passaggio 3.4.7.2

Scomponi $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ da $- 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)}{x}$

Passaggio 3.4.7.3

Scomponi $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ da $7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$