Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.10.3

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.10.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.14.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - 2 \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.14.3

$- 2$ e $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.14.4

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.17

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.18

Scomponi $2$ da $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.21

Combina $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ e $- \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ utilizzando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.1

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.21.2

Per scrivere $2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.21.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.22

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.1

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.22.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.22.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.22.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.22.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{1} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.23

Semplifica $2 x {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.24

Riscrivi $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ come un prodotto.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.25

Moltiplica $\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.26

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.26.1

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.26.1.1

Eleva $x^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Passaggio 4.26.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 4.26.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.26.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 4.26.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.27.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.27.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.27.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.27.2.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27.2.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.27.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27.2.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27.2.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27.2.2

Sottrai $x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27.3

Scomponi $x$ da $x^{3} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.27.3.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27.3.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.27.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$