Calcolo Esempi

$\ln (x) y + 5 x = 30$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\ln (x) y + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x) y + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\ln (x) y' + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) y' + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.4

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$

Passaggio 3

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $\ln (x) y' + \frac{y}{x} + 5$ .

$y' \ln (x) + \frac{y}{x} + 5 = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $\frac{y}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' \ln (x) + 5 = - \frac{y}{x}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$

Passaggio 5.3

Dividi per $\ln (x)$ ciascun termine in $y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $\ln (x)$ ciascun termine in $y' \ln (x) = - \frac{y}{x} - 5$ .

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \frac{y}{x}}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = - \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{\ln (x)} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{\ln (x)}$ per $\frac{y}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} + \frac{- 5}{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.3.2

Riordina i fattori in $- \frac{y}{\ln (x) x} - \frac{5}{\ln (x)}$ .

$y' = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x \ln (x)} - \frac{5}{\ln (x)}$