Calcolo Esempi

$\ln (x) + \ln (y) = 3 x - 3 y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\ln (x) + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (3 x - 3 y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x) + \ln (y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} y'$

Passaggio 2.3.3

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 - 3 y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} = 3 - 3 y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $3 y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 3 y' = 3$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, y, 1, 1$

Passaggio 5.2.2

Since $x, y, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, y^{1}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 5.2.6

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.2.7

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{1}, y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x y$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $x y$ ciascun termine in $\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 3 y' = 3$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 3 y' = 3$ per $x y$ .

$\frac{1}{x} (x y) + \frac{y'}{y} (x y) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) + \frac{y'}{y} (x y) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} (x y) + \frac{y'}{y} (x y) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y + \frac{y'}{y} (x y) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y + \frac{y'}{y} (y x) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + \frac{y'}{y} (y x) + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + y' x + 3 y' (x y) = 3 (x y)$

$y + y' x + 3 y' x y = 3 (x y)$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Rimuovi le parentesi.

$y + y' x + 3 y' x y = 3 x y$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' x + 3 y' x y = 3 x y - y$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y' x$ da $y' x + 3 y' x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $y' x$ da $y' x$ .

$y' x \cdot 1 + 3 y' x y = 3 x y - y$

Passaggio 5.4.2.2

Scomponi $y' x$ da $3 y' x y$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (3 y) = 3 x y - y$

Passaggio 5.4.2.3

Scomponi $y' x$ da $y' x \cdot 1 + y' x (3 y)$ .

$y' x (1 + 3 y) = 3 x y - y$

Passaggio 5.4.3

Dividi per $x (1 + 3 y)$ ciascun termine in $y' x (1 + 3 y) = 3 x y - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Dividi per $x (1 + 3 y)$ ciascun termine in $y' x (1 + 3 y) = 3 x y - y$ .

$\frac{y' x (1 + 3 y)}{x (1 + 3 y)} = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x (1 + 3 y)}{x (1 + 3 y)} = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (1 + 3 y)}{1 + 3 y} = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $1 + 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 + 3 y)}{1 + 3 y} = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 x y}{x (1 + 3 y)} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 y}{1 + 3 y} + \frac{- y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{3 y}{1 + 3 y} - \frac{y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Per scrivere $\frac{3 y}{1 + 3 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{3 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + 3 y) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{3 y}{1 + 3 y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{3 y x}{(1 + 3 y) x} - \frac{y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(1 + 3 y) x$ .

$y' = \frac{3 y x}{x (1 + 3 y)} - \frac{y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{3 y x - y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.3.5

Scomponi $y$ da $3 y x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.5.1

Scomponi $y$ da $3 y x$ .

$y' = \frac{y (3 x) - y}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.3.5.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y' = \frac{y (3 x) + y \cdot - 1}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.3.5.3

Scomponi $y$ da $y (3 x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (3 x - 1)}{x (1 + 3 y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 x - 1)}{x (1 + 3 y)}$