Calcolo Esempi

$9 x^{2} y + 2 x y^{2} = - 9$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (9 x^{2} y + 2 x y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 9)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} y + 2 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$9 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$9 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$9 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$9 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$9 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$9 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$9 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$9 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 (x^{2} y') + 9 (2 y x) + 2 (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 (x^{2} y') + 9 (2 y x) + 2 (2 x y y') + 2 y^{2}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$9 x^{2} y' + 18 (y x) + 2 (2 x y y') + 2 y^{2}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$9 x^{2} y' + 18 y x + 4 x y y' + 2 y^{2}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$2 y^{2} + 9 x^{2} y' + 18 x y + 4 x y y'$

Passaggio 3

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y^{2} + 9 x^{2} y' + 18 x y + 4 x y y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} y' + 18 x y + 4 x y y' = - 2 y^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $18 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} y' + 4 x y y' = - 2 y^{2} - 18 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x y'$ da $9 x^{2} y' + 4 x y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x y'$ da $9 x^{2} y'$ .

$x y' (9 x) + 4 x y y' = - 2 y^{2} - 18 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y'$ da $4 x y y'$ .

$x y' (9 x) + x y' (4 y) = - 2 y^{2} - 18 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' (9 x) + x y' (4 y)$ .

$x y' (9 x + 4 y) = - 2 y^{2} - 18 x y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x (9 x + 4 y)$ ciascun termine in $x y' (9 x + 4 y) = - 2 y^{2} - 18 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $x (9 x + 4 y)$ ciascun termine in $x y' (9 x + 4 y) = - 2 y^{2} - 18 x y$ .

$\frac{x y' (9 x + 4 y)}{x (9 x + 4 y)} = \frac{- 2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} + \frac{- 18 x y}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (9 x + 4 y)}{x (9 x + 4 y)} = \frac{- 2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} + \frac{- 18 x y}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (9 x + 4 y)}{9 x + 4 y} = \frac{- 2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} + \frac{- 18 x y}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $9 x + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (9 x + 4 y)}{9 x + 4 y} = \frac{- 2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} + \frac{- 18 x y}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} + \frac{- 18 x y}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} + \frac{- 18 x y}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} + \frac{- 18 x y}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} + \frac{- 18 y}{9 x + 4 y}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} - \frac{18 y}{9 x + 4 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{18 y}{9 x + 4 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} - \frac{18 y}{9 x + 4 y} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (9 x + 4 y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{18 y}{9 x + 4 y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} - \frac{18 y x}{(9 x + 4 y) x}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(9 x + 4 y) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{2}}{x (9 x + 4 y)} - \frac{18 y x}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 y^{2} - 18 y x}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $2 y$ da $- 2 y^{2} - 18 y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Scomponi $2 y$ da $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y (- y) - 18 y x}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Scomponi $2 y$ da $- 18 y x$ .

$y' = \frac{2 y (- y) + 2 y (- 9 x)}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.5.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (- y) + 2 y (- 9 x)$ .

$y' = \frac{2 y (- y - 9 x)}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{2 y (- (y) - 9 x)}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 9 x$ .

$y' = \frac{2 y (- (y) - (9 x))}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (y) - (9 x)$ .

$y' = \frac{2 y (- (y + 9 x))}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.9.1

Riscrivi $- (y + 9 x)$ come $- 1 (y + 9 x)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (y + 9 x))}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{(2 y) (y + 9 x)}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 5.3.3.9.3

Riordina i fattori in $- \frac{(2 y) (y + 9 x)}{x (9 x + 4 y)}$ .

$y' = - \frac{2 y (y + 9 x)}{x (9 x + 4 y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (y + 9 x)}{x (9 x + 4 y)}$