Calcolo Esempi

$\arctan (x^{2} y) = x + x y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x + x y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y (2 x))$

Passaggio 2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la regola del prodotto a $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Passaggio 2.6.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Passaggio 2.6.3

Riordina i fattori di $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$ .

$(x^{2} y' + 2 y x) \frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$

Passaggio 2.6.4

Moltiplica $x^{2} y' + 2 y x$ per $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} y' + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Passaggio 2.6.5

Scomponi $x$ da $x^{2} y' + 2 y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2} y'$ .

$\frac{x (x y') + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Passaggio 2.6.5.2

Scomponi $x$ da $2 y x$ .

$\frac{x (x y') + x (2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

Passaggio 2.6.5.3

Scomponi $x$ da $x (x y') + x (2 y)$ .

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + x y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Passaggio 3.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$1 + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$1 + 2 x y y' + y^{2}$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$y^{2} + 2 x y y' + 1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} = y^{2} + 2 x y y' + 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $1 + x^{4} y^{2}$ .

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $1 + x^{4} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x (x y' + 2 y) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (x y') + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} y' + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.5

Riordina $x^{2}$ e $y'$ .

$y' x^{2} + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $(y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Espandi $(y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.1

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.2.1

Sposta $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} y^{2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2 + 2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.4.1

Sposta $x^{4}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x) y y' y^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.4.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x^{1}) y y' y^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{4 + 1} y y' y^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.4.3

Somma $4$ e $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y y' y^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.1

Sposta $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y) y' + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y^{1}) y' + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{2 + 1} y' + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.7

Moltiplica $x^{4} y^{2}$ per $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 + x^{4} y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.2.1

Riordina $y^{4}$ e $x^{4}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 + x^{4} y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2.2

Sposta $y$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y' y + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 + x^{4} y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2.3

Sposta $x$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 + x^{4} y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2.4

Sposta $y^{3}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y' y^{3} + 1 + x^{4} y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2.5

Sposta $x^{5}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + 1 + x^{4} y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2.6

Sposta $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{2} + 1$

Passaggio 5.2.2.1.2.2.7

Sposta $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{2} + y^{2} + 1$

Passaggio 5.2.2.1.2.2.8

Sposta $2 y' x y$ .

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{2} + 2 y' x y + y^{2} + 1$

Passaggio 5.2.2.1.2.2.9

Riordina $x^{4} y^{4}$ e $2 y' x^{5} y^{3}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + x^{4} y^{2} + 2 y' x y + y^{2} + 1$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Poiché $y'$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + x^{4} y^{2} + 2 y' x y + y^{2} + 1 = y' x^{2} + 2 x y$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $y' x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + x^{4} y^{2} + 2 y' x y + y^{2} + 1 - y' x^{2} = 2 x y$

Passaggio 5.3.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $x^{4} y^{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{2} + 2 y' x y + y^{2} + 1 - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4}$

Passaggio 5.3.3.2

Sottrai $x^{4} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2} + 1 - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2}$

Passaggio 5.3.3.3

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + 1 - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2}$

Passaggio 5.3.3.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $y' x$ da $2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $y' x$ da $2 y' x^{5} y^{3}$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

Passaggio 5.3.4.2

Scomponi $y' x$ da $2 y' x y$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

Passaggio 5.3.4.3

Scomponi $y' x$ da $- y' x^{2}$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

Passaggio 5.3.4.4

Scomponi $y' x$ da $y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y)$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

Passaggio 5.3.4.5

Scomponi $y' x$ da $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x)$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

Passaggio 5.3.6

Dividi per $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ ciascun termine in $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Dividi per $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ ciascun termine in $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$ .

$\frac{y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $2 x^{4} y^{3} + 2 y - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.6.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.6.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $- x^{4} y^{4}$ .

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.6.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1.4.1

Scomponi $x$ da $- x^{4} y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{2})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.6.3.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 y - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.2.2

Scomponi $y$ da $2 y - x^{3} y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.2.2.1

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$y' = \frac{y \cdot 2 - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.2.2.2

Scomponi $y$ da $- x^{3} y^{4}$ .

$y' = \frac{y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.2.2.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) - x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.2.4

Scomponi $y$ da $y (2 - x^{3} y^{3}) - x^{3} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.2.4.1

Scomponi $y$ da $- x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) + y (- x^{3} y)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.2.4.2

Scomponi $y$ da $y (2 - x^{3} y^{3}) + y (- x^{3} y)$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.3

Per scrivere $\frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.4.1

Moltiplica $\frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x}{(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.4.2

Riordina i fattori di $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.6.1

Scomponi $y$ da $y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.6.1.1

Scomponi $y$ da $y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.1.2

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) + y (- y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.1.3

Scomponi $y$ da $y ((2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{y (2 x - x^{3} y^{3} x - x^{3} y x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.6.3.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.6.3.1.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{y (2 x - (x \cdot x^{3}) y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.6.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y (2 x - (x^{1} x^{3}) y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y (2 x - x^{1 + 3} y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.3.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.3.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.6.3.2.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - (x \cdot x^{3}) y - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.6.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - (x^{1} x^{3}) y - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.3.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - x^{1 + 3} y - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.6.3.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - x^{4} y - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - x^{4} y - y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{y (2 x) + y (- x^{4} y^{3}) + y (- x^{4} y) + y (- y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.8.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{2 y x + y (- x^{4} y^{3}) + y (- x^{4} y) + y (- y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{2 y x - y (x^{4} y^{3}) + y (- x^{4} y) + y (- y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{2 y x - y (x^{4} y^{3}) - y (x^{4} y) + y (- y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{2 y x - y (x^{4} y^{3}) - y (x^{4} y) - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.8.3.1

Moltiplica $y$ per $y^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.8.3.1.1

Sposta $y^{3}$ .

$y' = \frac{2 y x - (y^{3} y) x^{4} - y (x^{4} y) - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.3.1.2

Moltiplica $y^{3}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.8.3.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{2 y x - (y^{3} y^{1}) x^{4} - y (x^{4} y) - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{2 y x - y^{3 + 1} x^{4} - y (x^{4} y) - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.3.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$y' = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - y (x^{4} y) - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.8.3.2.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - (y \cdot y) x^{4} - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.3.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - y^{2} x^{4} - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.3.3

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.8.3.3.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - y^{2} x^{4} - (y \cdot y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 5.3.6.3.8.3.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - y^{2} x^{4} - y^{2} - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - y^{2} x^{4} - y^{2} - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$