Calcolo Esempi

$x y = \sin (x + y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x y' + y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + y = \cos (x + y) (1 + y')$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica $\cos (x + y) (1 + y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi.

$x y' + y = 0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y')$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$x y' + y = \cos (x + y) (1 + y')$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x y' + y = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

Passaggio 5.1.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.4.1

Moltiplica $\cos (x + y)$ per $1$ .

$x y' + y = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

Passaggio 5.1.1.4.2

Riordina i fattori in $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$x y' + y = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

Passaggio 5.2

Sottrai $y' \cos (x + y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + y - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Passaggio 5.3

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y) - y$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $x y' - y' \cos (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' x - y' \cos (x + y) = \cos (x + y) - y$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- y' \cos (x + y)$ .

$y' (x) + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $y' (x) + y' (- 1 \cos (x + y))$ .

$y' (x - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

Passaggio 5.5

Riscrivi $- 1 \cos (x + y)$ come $- \cos (x + y)$ .

$y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

Passaggio 5.6

Dividi per $x - \cos (x + y)$ ciascun termine in $y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Dividi per $x - \cos (x + y)$ ciascun termine in $y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$ .

$\frac{y' (x - \cos (x + y))}{x - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $x - \cos (x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x - \cos (x + y))}{x - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} - \frac{y}{x - \cos (x + y)}$

Passaggio 5.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{\cos (x + y) - y}{x - \cos (x + y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y) - y}{x - \cos (x + y)}$