Calcolo Esempi

$y = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + \frac{1}{x}$ e $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

$(x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}] + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$(x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.4.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.4.5.2

Somma $1 + x^{- 2}$ e $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 3.4.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 3.4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 3.4.8

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Passaggio 3.4.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.5.3

Riordina i termini.

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Espandi $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2.1.4

Combina.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.5.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x^{1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2.1.5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2 + 1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2.1.5.2

Somma $2$ e $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.2.2

Somma $\frac{1}{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$x + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.3

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.4

Espandi $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 (x - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.5.1.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.5.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{x}$ per $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.5.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.5.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.5.1.3.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.5.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.5.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.5.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Passaggio 3.5.4.5.1.5

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.5.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x}$

Passaggio 3.5.4.5.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 3.5.4.5.1.5.3

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x}$

Passaggio 3.5.4.5.1.5.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.5.1.5.4.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.5.1.5.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x^{1}}$

Passaggio 3.5.4.5.1.5.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2 + 1}}$

Passaggio 3.5.4.5.1.5.4.2

Somma $2$ e $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3.5.4.5.2

Sottrai $\frac{1}{x}$ da $- \frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3.5.4.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.6.1

$- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3.5.4.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3.5.5

Combina i termini opposti in $x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Sottrai $\frac{2}{x}$ da $\frac{2}{x}$ .

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + 0 + \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3.5.5.2

Somma $x + \frac{1}{x^{3}} + x$ e $0$ .

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x + x + \frac{1 + 1}{x^{3}}$

Passaggio 3.5.7

Somma $1$ e $1$ .

$x + x + \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 3.5.8

Somma $x$ e $x$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$