Calcolo Esempi

$y = (4 x^{2} - e^{2 x}) \sin (3 x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((4 x^{2} - e^{2 x}) \sin (3 x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x^{2} - e^{2 x}$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) (3 \cdot 1) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Passaggio 3.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Passaggio 3.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $(4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x)$ .

$3 \cdot ((4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - e^{2 x}]$

Passaggio 3.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Passaggio 3.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

Passaggio 3.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x} \cdot 1)$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$3 (4 x^{2} - e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(3 (4 x^{2}) + 3 (- e^{2 x})) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (4 x^{2}) \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x - 2 e^{2 x})$

Passaggio 3.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (4 x^{2}) \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Passaggio 3.6.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.6.4.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{2} \cos (3 x) + 3 (- e^{2 x}) \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Passaggio 3.6.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + \sin (3 x) (8 x) + \sin (3 x) (- 2 e^{2 x})$

Passaggio 3.6.5

Riordina i termini.

$12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} \cos (3 x) - 3 e^{2 x} \cos (3 x) + 8 x \sin (3 x) - 2 e^{2 x} \sin (3 x)$