Calcolo Esempi

$y = 2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$4 x - 5 + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$4 x - 5 + 3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$4 x - 5 + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$ .

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Passaggio 3.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + 4 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} - 12 x^{- 4}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 5 - 6 \frac{1}{x^{3}} - 12 x^{- 4}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 5 - 6 \frac{1}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 3.6.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.6.3.1

$- 6$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x - 5 + \frac{- 6}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 3.6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 3.6.3.3

$- 12$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} + \frac{- 12}{x^{4}}$

Passaggio 3.6.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$

Passaggio 3.6.4

Riordina i termini.

$4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$