Calcolo Esempi

$y = 4 \arcsin (2 x^{3})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 \arcsin (2 x^{3}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \arcsin (2 x^{3})$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x^{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x^{3})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = 2 x^{3}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\arcsin (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x^{3})}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x^{3}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.3.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.3.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 (x^{3})$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{3 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{6})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Passaggio 3.3.2.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.3.4.1

$2$ e $\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} (3 x^{2})$

Passaggio 3.3.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.3.6.1

$3$ e $\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} x^{2}$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{24}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} x^{2}$

Passaggio 3.3.6.3

$\frac{24}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$