Calcolo Esempi

$y = 4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 x {(3 x - 9)}^{- 4})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(3 x - 9)}^{- 4}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{- 4}] + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 9$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$4 (x (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 9$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.5

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \cdot 1)$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica ${(3 x - 9)}^{- 4}$ per $1$ .

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4})$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5})) + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$- 48 x {(3 x - 9)}^{- 5} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 x - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.2.1.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 (x - 3)$ .

$- 48 x \frac{1}{3^{5} {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$- 48 x \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.5.3.3.1

Scomponi $3$ da $- 48 x$ .

$3 (- 16 x) \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.3.2

Scomponi $3$ da $243 {(x - 3)}^{5}$ .

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- 16 x \frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.4

$- 16$ e $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}}$ .

$x \frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.5

$x$ e $\frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}}$ .

$\frac{x \cdot - 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.6

Sposta $- 16$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

Passaggio 3.5.3.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x - 9)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.3.9.1

Scomponi $3$ da $3 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.9.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.9.1.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.9.1.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.9.2

Applica la regola del prodotto a $3 (x - 3)$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{3^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.9.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.10

$4$ e $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$ .

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$