Calcolo Esempi

$y = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - - \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.6

Moltiplica.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + 1 \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.7

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.8.4.1

Combina i termini opposti in $\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 3.8.4.1.1

Sottrai $\sin (x) \cos (x)$ da $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 0 - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.1.2

Somma $\sin (x) \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.8.4.2.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 3.8.4.2.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.2.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.2.2

Moltiplica $- - \cos (x)$ .

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Passaggio 3.8.4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.2.2.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.2.3

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 3.8.4.2.3.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.2.3.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.4.3

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3.8.5

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \csc^{2} (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x)$