Calcolo Esempi

$y = \tan^{2} (\sin (x))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan^{2} (\sin (x)))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (\sin (x))$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (\sin (x))$ .

$2 \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori di $2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ .

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x) \tan (\sin (x))$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\sec (\sin (x))$ in termini di seno e coseno.

$2 {(\frac{1}{\cos (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Passaggio 3.4.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Passaggio 3.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Passaggio 3.4.5

$2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Passaggio 3.4.6

$\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi $\tan (\sin (x))$ in termini di seno e coseno.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

Passaggio 3.4.8

Combina.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $\cos^{2} (\sin (x))$ per $\cos (\sin (x))$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.9.1

Moltiplica $\cos^{2} (\sin (x))$ per $\cos (\sin (x))$ .

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Passaggio 3.4.9.1.1

Eleva $\cos (\sin (x))$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

Passaggio 3.4.9.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{2 + 1}}$

Passaggio 3.4.9.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{3} (\sin (x))}$

Passaggio 3.4.10

Scomponi $\cos (\sin (x))$ da $\cos^{3} (\sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos^{2} (\sin (x))}$

Passaggio 3.4.11

Frazioni separate.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

Passaggio 3.4.12

Riscrivi $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ come un prodotto.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Passaggio 3.4.13

Scrivi $\cos (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Passaggio 3.4.14

Semplifica.

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Passaggio 3.4.14.1

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Passaggio 3.4.14.2

Converti da $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ a $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Passaggio 3.4.15

Scomponi $\cos (\sin (x))$ da $\cos^{2} (\sin (x))$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Passaggio 3.4.16

Frazioni separate.

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Passaggio 3.4.17

Converti da $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ a $\tan (\sin (x))$ .

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Passaggio 3.4.18

Frazioni separate.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Passaggio 3.4.19

Converti da $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ a $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{2}{1} \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Passaggio 3.4.20

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Passaggio 3.4.21

Moltiplica $2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$ .

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Passaggio 3.4.21.1

Eleva $\sec (\sin (x))$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 3.4.21.2

Eleva $\sec (\sin (x))$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec^{1} (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 3.4.21.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\sec (\sin (x))}^{1 + 1} \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 3.4.21.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$