Calcolo Esempi

$y = \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

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Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.10.2.1.1

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.2

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 3.10.2.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.2

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{\cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.2.3

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\cos (x) + 1}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x) + 1$ e ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

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Passaggio 3.10.3.1

Riordina i termini.

$\frac{1 + \cos (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10.3.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.10.3.3.1

Scomponi $1 + \cos (x)$ da ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 3.10.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 3.10.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + \cos (x)}$