Calcolo Esempi

$y = e^{7 - (\frac{5}{x})}$

Passaggio 1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{5}{x}$ .

$y = e^{7 - \frac{5}{x}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{7 - \frac{5}{x}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 - \frac{5}{x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 - \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 - \frac{5}{x}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Passaggio 4.2

Differenzia.

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Passaggio 4.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - \frac{5}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Passaggio 4.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Passaggio 4.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 4.2.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5}{x}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 4.2.5

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Passaggio 4.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 (- x^{- 2}))$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 x^{- 2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 4.3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.2.1

$5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{5}{x^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

$e^{7 - \frac{5}{x}}$ e $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{7 - \frac{5}{x}} \cdot 5}{x^{2}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{7 - \frac{5}{x}}$ .

$\frac{5 e^{7 - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.3.1

Per scrivere $7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 e^{\frac{7 x}{x} - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$