Calcolo Esempi

Trovare i Massimi e i Minimi Locali y=x^4-4x^2
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 3
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 3.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 3.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 3.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 3.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 4
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 5
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 5.1.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 5.1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 5.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 5.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 6
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 6.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1
Scomponi da .
Passaggio 6.2.2
Scomponi da .
Passaggio 6.2.3
Scomponi da .
Passaggio 6.3
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 6.4
Imposta uguale a .
Passaggio 6.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 6.5.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.2.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 6.5.2.2
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 6.5.2.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.5.2.3.1
Per prima cosa, usa il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 6.5.2.3.2
Ora, usa il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 6.5.2.3.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 6.6
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 7
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 8
Punti critici da calcolare.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 10
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 10.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 10.2
Sottrai da .
Passaggio 11
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 12
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 12.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 12.2.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 12.2.1.2
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 12.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 12.2.2
Somma e .
Passaggio 12.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 13
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 14
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.1.1
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.1.1.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 14.1.1.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 14.1.1.3
e .
Passaggio 14.1.1.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 14.1.1.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 14.1.1.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 14.1.1.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 14.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 14.2
Sottrai da .
Passaggio 15
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 16
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 16.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 16.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 16.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 16.2.1.1
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 16.2.1.1.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 16.2.1.1.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 16.2.1.1.3
e .
Passaggio 16.2.1.1.4
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 16.2.1.1.4.1
Scomponi da .
Passaggio 16.2.1.1.4.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 16.2.1.1.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 16.2.1.1.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 16.2.1.1.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 16.2.1.1.4.2.4
Dividi per .
Passaggio 16.2.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 16.2.1.3
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 16.2.1.3.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 16.2.1.3.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 16.2.1.3.3
e .
Passaggio 16.2.1.3.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 16.2.1.3.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 16.2.1.3.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 16.2.1.3.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 16.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 16.2.2
Sottrai da .
Passaggio 16.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 17
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 18
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 18.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 18.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 18.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 18.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 18.1.4
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 18.1.4.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 18.1.4.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 18.1.4.3
e .
Passaggio 18.1.4.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 18.1.4.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 18.1.4.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 18.1.4.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 18.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 18.2
Sottrai da .
Passaggio 19
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 20
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 20.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 20.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 20.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 20.2.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 20.2.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 20.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 20.2.1.4
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 20.2.1.4.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 20.2.1.4.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 20.2.1.4.3
e .
Passaggio 20.2.1.4.4
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 20.2.1.4.4.1
Scomponi da .
Passaggio 20.2.1.4.4.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 20.2.1.4.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 20.2.1.4.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 20.2.1.4.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 20.2.1.4.4.2.4
Dividi per .
Passaggio 20.2.1.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 20.2.1.6
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 20.2.1.7
Eleva alla potenza di .
Passaggio 20.2.1.8
Moltiplica per .
Passaggio 20.2.1.9
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 20.2.1.9.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 20.2.1.9.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 20.2.1.9.3
e .
Passaggio 20.2.1.9.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 20.2.1.9.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 20.2.1.9.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 20.2.1.9.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 20.2.1.10
Moltiplica per .
Passaggio 20.2.2
Sottrai da .
Passaggio 20.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 21
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
è un minimo locale
è un minimo locale
Passaggio 22