Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{\sqrt{x - 1}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{1}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 4.4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Passaggio 4.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.10.3

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.10.4

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]}{x - 1}$

Passaggio 4.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{x - 1}$

Passaggio 4.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 1}$

Passaggio 4.14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.14.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 1}$

Passaggio 4.14.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.15

Per scrivere ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.16

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.18

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.18.1

Sposta ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.18.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.18.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.18.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.19

Semplifica ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.20

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Passaggio 4.21

Riscrivi $\frac{\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$ come un prodotto.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 4.22

Moltiplica $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}$

Passaggio 4.23

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.24

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.25

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 4.27

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.28

Semplifica.

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Passaggio 4.28.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.28.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.28.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.28.2.2

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$\frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$