Calcolo Esempi

$y = x^{3} {(2 x - 1)}^{5}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(2 x - 1)}^{5})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(2 x - 1)}^{5}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}] + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 1$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{3} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 + 0)) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} \cdot 2) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + {(2 x - 1)}^{5} (3 x^{2})$

Passaggio 3.3.8

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 x - 1)}^{5}$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ da $x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + 3 {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ da $x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4})$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10)) + 3 {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ da $3 {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10)) + x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (3 (2 x - 1))$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ da $x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10)) + x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (3 (2 x - 1))$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10) + 3 (2 x - 1))$

Passaggio 3.4.2

Sposta $10$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (10 x + 3 (2 x - 1))$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (10 x + 3 (2 x - 1))$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (10 x + 3 (2 x - 1))$