Calcolo Esempi

$y = x^{2} \log_{2} (5 - 4 x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \log_{2} (5 - 4 x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \log_{2} (5 - 4 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{2} (5 - 4 x)] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{2} (x)$ e $g (x) = 5 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 - 4 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\log_{2} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - 4 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$\frac{1}{(5 - 4 x) \ln (2)}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [5 - 4 x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [- 4 x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

$- 4$ e $\frac{x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x] + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} \cdot 1 + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} + \log_{2} (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(5 - 4 x) \ln (2)} + \log_{2} (5 - 4 x) (2 x)$

Passaggio 3.3.10

Sposta $\log_{2} (- 4 x + 5)$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$

Passaggio 3.4

Per scrivere $2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) \cdot \frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Passaggio 3.5

$2 x \log_{2} (- 4 x + 5)$ e $\frac{(- 4 x + 5) \ln (2)}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$ .

$- \frac{4 x^{2}}{(- 4 x + 5) \ln (2)} + \frac{2 x \log_{2} (- 4 x + 5) ((- 4 x + 5) \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) ((- 4 x + 5) \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{(- 4 x + 5) \ln (2)}$

Passaggio 3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x \log_{2} (- 4 x + 5) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.1

Semplifica $2 \log_{2} (- 4 x + 5)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.2.1

Semplifica $- 4 \ln (2)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (2^{4})) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.3.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + 5 \ln (2))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.3.1.2.3

Semplifica $5 \ln (2)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + \ln (2^{5}))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.3.1.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16)) + \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) (x (- \ln (16))) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) x + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) (x \cdot x) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - \ln (16) x^{2} \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.3.2

Riordina i fattori in $- 4 x^{2} - \ln (16) x^{2} \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)$ .

$\frac{- 4 x^{2} - x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.4

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})$ .

$\frac{- (4 x^{2}) - (x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.6

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2}) - (x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}))$ .

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) + x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.7

Scomponi $- 1$ da $x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)$ .

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) - (- x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.8

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})) - (- x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ .

$\frac{- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.9

Riscrivi $- (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ come $- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 4 x \ln (2) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.10

Scomponi $- 1$ da $- 4 x \ln (2)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2)) + 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.11

Scomponi $- 1$ da $5 \ln (2)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2)) - (- 5 \ln (2))}$

Passaggio 3.7.12

Scomponi $- 1$ da $- (4 x \ln (2)) - (- 5 \ln (2))$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Passaggio 3.7.13

Riscrivi $- (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))$ come $- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))$ .

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Passaggio 3.7.14

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32))}{- 1 (4 x \ln (2) - 5 \ln (2))}$

Passaggio 3.7.15

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) \ln (32)}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Passaggio 3.7.16

Riordina i termini.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} + x^{2} \ln (16) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2}) - x \ln (32) \log_{2} ({(- 4 x + 5)}^{2})}{4 x \ln (2) - 5 \ln (2)}$