Calcolo Esempi

$y = \ln (\tan (x))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\tan (x)))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.4

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.5

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Riordina i fattori di $\cot (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.6.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.6.5

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.6.5.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.6.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.6.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 3.6.6

Moltiplica $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.6.7

Frazioni separate.

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.6.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Passaggio 3.6.9

Frazioni separate.

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Passaggio 3.6.10

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Passaggio 3.6.11

Dividi $1^{2}$ per $1$ .

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Passaggio 3.6.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 \csc (x) \sec (x)$

Passaggio 3.6.13

Moltiplica $\csc (x)$ per $1$ .

$\csc (x) \sec (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \csc (x) \sec (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \sec (x)$