Calcolo Esempi

$y = \ln (x^{6} (x^{9} - x + 5))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{6} (x^{9} - x + 5)))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = x^{9} - x + 5$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} \frac{d}{d x} [x^{9} - x + 5] + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{9} - x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.3.6

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 + 0) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.3.7

Somma $9 x^{8} - 1$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 3.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + (x^{9} - x + 5) (6 x^{5}))$

Passaggio 3.3.9

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{9} - x + 5$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + 6 \cdot (x^{9} - x + 5) x^{5})$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + 6 (x^{9} - x + 5) x^{5})$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 (x^{9} - x + 5) x^{5})$

Passaggio 3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + (6 x^{9} + 6 (- x) + 6 \cdot 5) x^{5})$

Passaggio 3.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $x^{6}$ per $x^{9}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{6 + 9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.1.2

Somma $6$ e $9$ .

$\frac{1}{x^{15} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $x^{6}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{1}{x^{15} + x \cdot x^{6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x^{15} + x^{1} x^{6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{15} + x^{1 + 6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.2.3

Somma $1$ e $6$ .

$\frac{1}{x^{15} + x^{7} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{7}$ .

$\frac{1}{x^{15} - 1 \cdot x^{7} + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.4

Riscrivi $- 1 x^{7}$ come $- x^{7}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.5

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 \cdot x^{6}} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.6

Moltiplica $x^{6}$ per $x^{8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.6.1

Sposta $x^{8}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{8} x^{6} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{8 + 6} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.6.3

Somma $8$ e $6$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{14} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.7

Sposta $9$ alla sinistra di $x^{14}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 \cdot x^{14} + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - 1 \cdot x^{6} + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.9

Riscrivi $- 1 x^{6}$ come $- x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.10

Moltiplica $x^{9}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.10.1

Sposta $x^{5}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 (x^{5} x^{9}) + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.10.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{5 + 9} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.10.3

Somma $5$ e $9$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.11

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x \cdot x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.12

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.12.1

Sposta $x^{5}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 (x^{5} x) + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.12.2

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.12.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 (x^{5} x^{1}) + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.12.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{5 + 1} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.12.3

Somma $5$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{6} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.13

Moltiplica $6$ per $5$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{6} + 30 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.14

Somma $9 x^{14}$ e $6 x^{14}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - x^{6} - 6 x^{6} + 30 x^{5})$

Passaggio 3.4.5.15

Sottrai $6 x^{6}$ da $- x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5})$

Passaggio 3.4.6

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5})$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}}$

Passaggio 3.4.7

Scomponi $x^{6}$ da $x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Scomponi $x^{6}$ da $x^{15}$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} - x^{7} + 5 x^{6}}$

Passaggio 3.4.7.2

Scomponi $x^{6}$ da $- x^{7}$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + 5 x^{6}}$

Passaggio 3.4.7.3

Scomponi $x^{6}$ da $5 x^{6}$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5}$

Passaggio 3.4.7.4

Scomponi $x^{6}$ da $x^{6} x^{9} + x^{6} (- x)$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} (x^{9} - x) + x^{6} \cdot 5}$

Passaggio 3.4.7.5

Scomponi $x^{6}$ da $x^{6} (x^{9} - x) + x^{6} \cdot 5$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}$ per $\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$ .

$\frac{15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Passaggio 3.4.9

Scomponi $x^{5}$ da $15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Scomponi $x^{5}$ da $15 x^{14}$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) - 7 x^{6} + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Passaggio 3.4.9.2

Scomponi $x^{5}$ da $- 7 x^{6}$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x) + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Passaggio 3.4.9.3

Scomponi $x^{5}$ da $30 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 30}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Passaggio 3.4.9.4

Scomponi $x^{5}$ da $x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x)$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x) + x^{5} \cdot 30}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Passaggio 3.4.9.5

Scomponi $x^{5}$ da $x^{5} (15 x^{9} - 7 x) + x^{5} \cdot 30$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Passaggio 3.4.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.10.1

Scomponi $x^{5}$ da $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{5} (x (x^{9} - x + 5))}$

Passaggio 3.4.10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{5} (x (x^{9} - x + 5))}$

Passaggio 3.4.10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$