Calcolo Esempi

$y = \tan (\cos (x))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (\cos (x)))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Riordina i fattori di $\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$ .

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\sec (\cos (x))$ in termini di seno e coseno.

$- {(\frac{1}{\cos (\cos (x))})}^{2} \sin (x)$

Passaggio 3.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Passaggio 3.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Passaggio 3.3.5

$\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))}$

Passaggio 3.3.6

Scomponi $\cos (\cos (x))$ da $\cos^{2} (\cos (x))$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x)) \cos (\cos (x))}$

Passaggio 3.3.7

Frazioni separate.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))})$

Passaggio 3.3.8

Riscrivi $\frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))}$ come un prodotto.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Passaggio 3.3.9

Scrivi $\sin (x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Passaggio 3.3.10

Semplifica.

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Passaggio 3.3.10.1

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Passaggio 3.3.10.2

Converti da $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ a $\sec (\cos (x))$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Passaggio 3.3.11

Converti da $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ a $\sec (\cos (x))$ .

$- (\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Passaggio 3.3.12

Moltiplica $\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x)))$ .

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Passaggio 3.3.12.1

Eleva $\sec (\cos (x))$ alla potenza di $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec (\cos (x)) \sin (x))$

Passaggio 3.3.12.2

Eleva $\sec (\cos (x))$ alla potenza di $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec^{1} (\cos (x)) \sin (x))$

Passaggio 3.3.12.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- ({\sec (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x))$

Passaggio 3.3.12.4

Somma $1$ e $1$ .

$- (\sec^{2} (\cos (x)) \sin (x))$

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$