Calcolo Esempi

$y = 5 \cos (x) \tan (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos (x) \tan (x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \cos (x) \tan (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x)) + 5 (\tan (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$5 \cos (x) \sec^{2} (x) - 5 \tan (x) \sin (x)$

Passaggio 3.5.3

Riordina i termini.

$5 \sec^{2} (x) \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 3.5.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.4.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 3.5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 3.5.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 3.5.4.4

$5$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 3.5.4.5

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.5.4.5.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 3.5.4.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 3.5.4.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 3.5.4.6

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.4.7

Moltiplica $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 3.5.4.7.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $- 5$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x)$

Passaggio 3.5.4.7.2

$\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.4.7.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.4.7.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.4.7.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.4.7.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{\cos (x)} - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.6

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.7

Scomponi $5$ da $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.8

Scomponi $5$ da $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.9

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.10

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.5.10.1

Scomponi $\cos (x)$ da $5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.5.10.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Passaggio 3.5.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Passaggio 3.5.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \cos (x)}{1}$

Passaggio 3.5.10.2.4

Dividi $5 \cos (x)$ per $1$ .

$5 \cos (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 5 \cos (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x)$