Calcolo Esempi

$y = 9 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = 9 e^{x} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 e^{x} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 e^{x} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ .

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Passaggio 4.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 e^{x}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$9 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Passaggio 4.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$9 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$9 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$9 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$9 e^{x} + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$9 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$9 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 4.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 4.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 4.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 4.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 4.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 4.3.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Passaggio 4.3.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Passaggio 4.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Passaggio 4.3.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$9 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 4.3.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 e^{x} + 4 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 4.3.15

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$9 e^{x} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.3.16

$- 4$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$9 e^{x} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.3.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 9 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$