Calcolo Esempi

$z = x e^{x + y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x e^{x + y})$

Passaggio 2

La derivata di $z$ rispetto a $y$ è $z'$ .

$z'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x e^{x + y}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x + y$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [x + y])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 3.3.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$x (e^{x + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1)$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $e^{x + y}$ per $1$ .

$x e^{x + y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$z' = x e^{x + y}$

Passaggio 5

Sostituisci $z'$ con $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = x e^{x + y}$