Calcolo Esempi

$y = 19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (19 z^{2} + \frac{1}{5 z})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

$\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [19 z^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $19$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $19 z^{2}$ rispetto a $y$ è $19 \frac{d}{d y} [z^{2}]$ .

$19 \frac{d}{d y} [z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = z$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $z$ .

$19 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$19 (2 u \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $z$ .

$19 (2 z \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [z]$ come $z'$ .

$19 (2 z z') + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $19$ .

$38 z z' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{5 z}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = 1$ e $g (y) = z$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [z]$ come $z'$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $z$ per $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - z'}{z^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Sottrai $z'$ da $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{- z'}{z^{2}}$

Passaggio 3.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$38 z z' + \frac{1}{5} (- \frac{z'}{z^{2}})$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{z'}{z^{2}}$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = 38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $z'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 5 z^{2}, 1$

Passaggio 5.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$5 z^{2}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $5 z^{2}$ ciascun termine in $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ per $5 z^{2}$ .

$38 z z' (5 z^{2}) - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica $z$ per $z^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.2.1.1.1

Sposta $z^{2}$ .

$38 (z^{2} z) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Moltiplica $z^{2}$ per $z$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1.2.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$38 (z^{2} z^{1}) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$38 z^{2 + 1} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$38 z^{3} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica $5$ per $38$ .

$190 z^{3} z' - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $5 z^{2}$ .

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Passaggio 5.3.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{z'}{5 z^{2}}$ nel numeratore.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Passaggio 5.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$190 z^{3} z' - z' = 1 (5 z^{2})$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $5 z^{2}$ per $1$ .

$190 z^{3} z' - z' = 5 z^{2}$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $z'$ da $190 z^{3} z' - z'$ .

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Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $z'$ da $190 z^{3} z'$ .

$z' (190 z^{3}) - z' = 5 z^{2}$

Passaggio 5.4.1.2

Scomponi $z'$ da $- z'$ .

$z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1 = 5 z^{2}$

Passaggio 5.4.1.3

Scomponi $z'$ da $z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1$ .

$z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $190 z^{3} - 1$ ciascun termine in $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $190 z^{3} - 1$ ciascun termine in $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ .

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $190 z^{3} - 1$ .

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Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $z'$ per $1$ .

$z' = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $z'$ con $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$