Calcolo Esempi

$z = (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ((2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y})$

Passaggio 2

La derivata di $z$ rispetto a $x$ è $z'$ .

$z'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x + 3 y$ e $g (x) = e^{4 x + 5 y}$ .

$(2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [e^{4 x + 5 y}] + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x + 5 y$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x + 5 y$ .

$(2 x + 3 y) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(2 x + 3 y) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + 5 y$ .

$(2 x + 3 y) (e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 5 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.3.5

Poiché $5 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 + 0) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} \cdot 4 + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.3.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}$ .

$4 \cdot ((2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 3.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 3.3.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 3.3.11

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 + 0)$

Passaggio 3.3.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} \cdot 2$

Passaggio 3.3.12.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{4 x + 5 y}$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + 2 \cdot e^{4 x + 5 y}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 (2 x) + 4 (3 y)) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(8 x + 4 (3 y)) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$(8 x + 12 y) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$z' = e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$

Passaggio 5

Sostituisci $z'$ con $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$