Calcolo Esempi

$z = \frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}})$

Passaggio 2

La derivata di $z$ rispetto a $x$ è $z'$ .

$z'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3} y - x y^{3}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} y - x y^{3}] - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} y - x y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{3} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 \cdot y x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y^{3}$ rispetto a $x$ è $- y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3} \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3} \cdot 1) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.11.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y - x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) + (- 2 (x^{3} y) - 2 (- x y^{3})) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Espandi $(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (3 y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (3 y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{2} (y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2 + 2} y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{2} (y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.5

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1.5.1

Sposta $y$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 (y \cdot y^{2}) x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1.5.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 (y^{1} y^{2}) x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{1 + 2} x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{2} y^{3} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.7

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1.7.1

Sposta $y^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - (y^{3} y^{2}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{3 + 2} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.1.7.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Somma $- x^{2} y^{3}$ e $3 y^{3} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.2.1

Sposta $y^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2.2

Somma $- x^{2} y^{3}$ e $3 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x \cdot x^{3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{1} x^{3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{1 + 3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{4} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y - 2 (- (x \cdot x) y^{3})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y - 2 (- x^{2} y^{3})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Sottrai $2 x^{4} y$ da $3 x^{4} y$ .

$\frac{2 x^{2} y^{3} - y^{5} + 1 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} y^{3} - y^{5} + x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.4

Somma $2 x^{2} y^{3}$ e $2 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{- y^{5} + x^{4} y + 4 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Riordina i termini.

$\frac{- y^{5} + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Scomponi $y$ da $- y^{5} + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Scomponi $y$ da $- y^{5}$ .

$\frac{y (- y^{4}) + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.2

Scomponi $y$ da $x^{4} y$ .

$\frac{y (- y^{4}) + y x^{4} + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.3

Scomponi $y$ da $4 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{y (- y^{4}) + y x^{4} + y (4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.4

Scomponi $y$ da $y (- y^{4}) + y x^{4}$ .

$\frac{y (- y^{4} + x^{4}) + y (4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.5

Scomponi $y$ da $y (- y^{4} + x^{4}) + y (4 y^{2} x^{2})$ .

$\frac{y (- y^{4} + x^{4} + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- y^{4}$ .

$\frac{y (- (y^{4}) + x^{4} + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Scomponi $- 1$ da $x^{4}$ .

$\frac{y (- (y^{4}) - 1 (- x^{4}) + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (y^{4}) - 1 (- x^{4})$ .

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4}) + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.9

Scomponi $- 1$ da $4 y^{2} x^{2}$ .

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4}) - (- 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.10

Scomponi $- 1$ da $- (y^{4} - x^{4}) - (- 4 y^{2} x^{2})$ .

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.11

Riscrivi $- (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})$ come $- 1 (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})$ .

$\frac{y (- 1 (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$z' = - \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $z'$ con $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = - \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$