Calcolo Esempi

$y = \frac{\sin (3 x^{2})}{\log (\cos (3 x))}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (3 x^{2})$ e $g (x) = \log (\cos (3 x))$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})] - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x^{2}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x^{2}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (3 (2 x)) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (3 x)$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\log (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (3 x)$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{1}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 5

$\frac{1}{\cos (3 x) \ln (10)}$ e $\sin (3 x^{2})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $3 x$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 6.2

La derivata di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $3 x$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + 1 \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 7.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ per $1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 7.2.2

$\sin (3 x)$ e $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 7.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 7.4

$3$ e $\frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 (\sin (3 x) \sin (3 x^{2}))}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 7.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \cdot 1}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 7.6

Moltiplica $\frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ per $1$ .

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$ per $\frac{\cos (3 x) \ln (10)}{\cos (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\cos (3 x) \ln (10)}{\cos (3 x) \ln (10)} \cdot \frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 9

Combina.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 10

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + \cos (3 x) \ln (10) \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 11

Elimina il fattore comune di $\cos (3 x) \ln (10)$ .

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Passaggio 11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + \cos (3 x) \ln (10) \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 11.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1.1

Semplifica $6 \ln (10)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10^{6}) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 12.1.1.2

Eleva $10$ alla potenza di $6$ .

$\frac{\cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 12.1.2

Riordina i fattori in $\cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})$ .

$\frac{x \cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

Passaggio 12.2

Riordina i termini.

$\frac{x \cos (3 x) \cos (3 x^{2}) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\log^{2} (\cos (3 x)) \cos (3 x) \ln (10)}$