Calcolo Esempi

$y = \log_{5} (x^{6} + x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = x^{6} + x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{6} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x^{6} + x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log_{5} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{6} + x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{6} + x$ .

$\frac{1}{(x^{6} + x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{6} + x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{6} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{6} + x) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{1}{(x^{6} + x) \ln (5)} (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{6} + x) \ln (5)} (6 x^{5} + 1)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{6} \ln (5) + x \ln (5)} (6 x^{5} + 1)$

Passaggio 3.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{6} \ln (5) + x \ln (5)} (6 x^{5} + 1)$ .

$(6 x^{5} + 1) \frac{1}{x^{6} \ln (5) + x \ln (5)}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x \ln (5)$ da $x^{6} \ln (5) + x \ln (5)$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x \ln (5)$ da $x^{6} \ln (5)$ .

$(6 x^{5} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{5}) + x \ln (5)}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x \ln (5)$ da $x \ln (5)$ .

$(6 x^{5} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{5}) + x \ln (5) (1)}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $x \ln (5)$ da $x \ln (5) (x^{5}) + x \ln (5) (1)$ .

$(6 x^{5} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{5} + 1)}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $6 x^{5} + 1$ per $\frac{1}{x \ln (5) (x^{5} + 1)}$ .

$\frac{6 x^{5} + 1}{x \ln (5) (x^{5} + 1)}$