Calcolo Esempi

$y = \arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\arctan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.4

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.5

Applica la regola del prodotto a $4 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 2.8

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ e $4$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 16 x^{2} + 1$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $16 x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $16 x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + 0)$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $16$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x + 0)$

Passaggio 3.7

Somma $32 x$ e $0$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x)$

Passaggio 3.8

$32$ e $\frac{1}{16 x^{2} + 1}$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32}{16 x^{2} + 1} x$

Passaggio 3.9

$\frac{32}{16 x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.1.1

Riordina i termini.

$\frac{4}{16 x^{2} + 1} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

Passaggio 4.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 + 32 x}{16 x^{2} + 1}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$\frac{32 x + 4}{16 x^{2} + 1}$

Passaggio 4.3

Scomponi $4$ da $32 x + 4$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $4$ da $32 x$ .

$\frac{4 (8 x) + 4}{16 x^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (8 x) + 4 (1)}{16 x^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $4$ da $4 (8 x) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (8 x + 1)}{16 x^{2} + 1}$