Calcolo Esempi

$y = \sqrt{x} \cos (\sqrt{x})$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (\sqrt{x})]$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})] + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 9

Semplifica i termini.

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Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 9.3

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 9.4

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 9.5

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 9.6

Elimina il fattore comune.

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 9.7

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 12

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 14

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 14.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 16

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 17

$\cos (x^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 18

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 18.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.2

Riordina i termini.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}$