Calcolo Esempi

$y = \sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{2 x}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{2 x}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3.3

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3.4

Poiché $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 3.8

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 3.9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 3.10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 3.12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 3.12.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 3.14

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 3.15

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Passaggio 3.16

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.16.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Passaggio 3.16.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Passaggio 3.16.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 3.16.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 3.16.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.16.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Passaggio 3.16.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Passaggio 3.16.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 3.17

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 3.18

Moltiplica $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 3.19

Moltiplica $2^{\frac{1}{2}}$ per $2$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.19.1

Sposta $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.19.2

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.19.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.19.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.19.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.19.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.19.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$