Calcolo Esempi

$y = x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [x^{2 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.2.5.2

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5}{x}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 (- x^{- 2})$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{- 2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

$5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Passaggio 4.3

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5}{x^{2}}$