Calcolo Esempi

$y = x^{2} \sqrt{4 x - 3}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 x - 3}$ come ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x - 3$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 3] + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 12

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 13

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

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Passaggio 14.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 14.2

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 14.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 14.4

Scomponi $2$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 15

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 15.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 ({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Passaggio 17

Sposta $2$ alla sinistra di ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$

Passaggio 18

Combina $\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$ utilizzando un comune denominatore.

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Passaggio 18.1

Sposta ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18.2

Per scrivere $2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19

Moltiplica ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 19.1

Sposta ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x ({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{1}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Semplifica $2 x {(4 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x (4 x - 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

Semplifica.

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Passaggio 21.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x (4 x) + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 21.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 21.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 x \cdot x + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 21.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.2.1.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x^{2} - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.2.2

Somma $2 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.3

Scomponi $2 x$ da $10 x^{2} - 6 x$ .

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Passaggio 21.3.1

Scomponi $2 x$ da $10 x^{2}$ .

$\frac{2 x (5 x) - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.3.2

Scomponi $2 x$ da $- 6 x$ .

$\frac{2 x (5 x) + 2 x (- 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.3.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (5 x) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 x (5 x - 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$