Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{\arctan (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \arctan (x)$ .

$\frac{\arctan (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\arctan (x)$ per $1$ .

$\frac{\arctan (x) - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\arctan (x) - x \frac{1}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 4

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{\arctan (x) - \frac{x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 5

Per scrivere $\arctan (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 7

Riscrivi $\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$ come un prodotto.

$\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{{\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}$ per $\frac{1}{{\arctan (x)}^{2}}$ .

$\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2} - x}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2} - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $\arctan (x)$ per $1$ .

$\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2} - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 9.3.2

Riordina i fattori in $\arctan (x) + \arctan (x) x^{2} - x$ .

$\frac{\arctan (x) + x^{2} \arctan (x) - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 9.4

Moltiplica ${\arctan (x)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{\arctan (x) + x^{2} \arctan (x) - x}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Passaggio 9.5

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x)}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$