Calcolo Esempi

$e^{4 x} + e^{- x}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{4 x} + e^{- x}$ come funzione.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{4 x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 2.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 2.1.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 2.1.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Passaggio 3.2

Sposta $- e^{- x}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\ln (4 e^{4 x})$ come $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 3.4.2

Espandi $\ln (e^{4 x})$ spostando $4 x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Passaggio 3.4.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Passaggio 3.5

Espandi il lato destro.

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Passaggio 3.5.1

Espandi $\ln (e^{- x})$ spostando $- x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Passaggio 3.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Passaggio 3.6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $4 x$ e $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Passaggio 3.7

Sottrai $\ln (4)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = - \ln (4)$

Passaggio 3.8

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - \ln (4)$ e semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - \ln (4)$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Passaggio 3.8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.8.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 3.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Passaggio 3.8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- \frac{\ln (4)}{5}$ .

$- \frac{\ln (4)}{5}$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.27725887$ nell'espressione.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

Passaggio 6.2.1.3

$4$ e $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ .

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$- 3.56262674$

Passaggio 6.4

In corrispondenza di $x = - 1.27725887$ la derivata è $- 3.56262674$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.72274112$ nell'espressione.

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $4$ per $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

Passaggio 7.2.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ .

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$71.55727104$

Passaggio 7.4

In corrispondenza di $x = 0.72274112$ la derivata è $71.55727104$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

Crescente su $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

Passaggio 9