Calcolo Esempi

$y = 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \cos (x) - 8 \sin (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} \sin (x) + 8 x \cos (x) - 8 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2} \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Passaggio 2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x \cos (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 8 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 \sin (x)]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 8 \cos (x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x^{2} \cos (x)) + 4 (\sin (x) (2 x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 8 \cos (x)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x^{2} \cos (x)) + 4 (\sin (x) (2 x)) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 8 \cos (x)$

Passaggio 5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 x^{2} \cos (x) + 8 (\sin (x) (x)) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 8 \cos (x)$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$4 x^{2} \cos (x) + 8 \sin (x) x - 8 (x (\sin (x))) + 8 \cos (x) - 8 \cos (x)$

Passaggio 5.3.3

Sottrai $8 x \sin (x)$ da $8 \sin (x) x$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Sposta $\sin (x)$ .

$4 x^{2} \cos (x) + 8 x \sin (x) - 8 x \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 \cos (x)$

Passaggio 5.3.3.2

Sottrai $8 x \sin (x)$ da $8 x \sin (x)$ .

$4 x^{2} \cos (x) + 0 + 8 \cos (x) - 8 \cos (x)$

Passaggio 5.3.4

Somma $4 x^{2} \cos (x)$ e $0$ .

$4 x^{2} \cos (x) + 8 \cos (x) - 8 \cos (x)$

Passaggio 5.3.5

Sottrai $8 \cos (x)$ da $8 \cos (x)$ .

$4 x^{2} \cos (x) + 0$

Passaggio 5.3.6

Somma $4 x^{2} \cos (x)$ e $0$ .

$4 x^{2} \cos (x)$