Calcolo Esempi

$y = 25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$

Passaggio 1

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = x^{5} + 17$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 17] + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + 17$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 3.3

Poiché $17$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $17$ rispetto a $x$ è $0$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + 0) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 3.4

Somma $5 x^{4}$ e $0$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4}) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 4

Moltiplica $x^{\frac{1}{5}}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{4}$ .

$25 (x^{4} x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25 (x^{4 + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$25 (x^{4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 4.4

$4$ e $\frac{5}{5}$ .

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$25 (x^{\frac{20 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 4.6.2

Somma $20$ e $1$ .

$25 (x^{\frac{21}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 5

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{\frac{21}{5}}$ .

$25 (5 \cdot x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Passaggio 10.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Passaggio 12

$\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Passaggio 13

Sposta $x^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}}) + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $5$ per $25$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.2

$x^{5}$ e $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5}}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.3

Sposta $x^{\frac{4}{5}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5} x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.4

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{- \frac{4}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.4.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.4.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.4.3

$5$ e $\frac{5}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.4.5.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{25 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.4.5.2

Sottrai $4$ da $25$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.5

$25$ e $\frac{x^{\frac{21}{5}}}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.6

Scomponi $5$ da $25 x^{\frac{21}{5}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.7.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 (1)} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 \cdot 1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 x^{\frac{21}{5}}}{1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.7.4

Dividi $5 x^{\frac{21}{5}}$ per $1$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Passaggio 14.3.8

$17$ e $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 14.3.9

$25$ e $\frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 \cdot 17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 14.3.10

Moltiplica $25$ per $17$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{425}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 14.3.11

Scomponi $5$ da $425$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 14.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.12.1

Scomponi $5$ da $5 x^{\frac{4}{5}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 (x^{\frac{4}{5}})}$

Passaggio 14.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 14.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 14.3.13

Somma $125 x^{\frac{21}{5}}$ e $5 x^{\frac{21}{5}}$ .

$130 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$