Calcolo Esempi

$y = \arccos (\frac{1}{1 + x^{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arccos (x)$ e $g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arccos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 2

Riscrivi $\frac{1}{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Passaggio 4.2.2

${(1 + x^{2})}^{- 2}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 4.2.3

Sposta ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (2 x)$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

$2$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} x$

Passaggio 4.7.2

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.4.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 5.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Passaggio 5.4.3

Riordina i termini.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Passaggio 5.4.4

Riscrivi $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.4.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Passaggio 5.4.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1 + x^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Passaggio 5.4.4.3

Semplifica.

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Passaggio 5.4.4.3.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Passaggio 5.4.4.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Passaggio 5.4.4.3.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Passaggio 5.4.5

Riscrivi $\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ come ${(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)$ .

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Passaggio 5.4.5.1

Scomponi la potenza perfetta $x^{2}$ su $(x^{2} + 2) x^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

Passaggio 5.4.5.2

Scomponi la potenza perfetta ${(x^{2} + 1)}^{2}$ su ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}}}$

Passaggio 5.4.5.3

Riordina la frazione $\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)}}$

Passaggio 5.4.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Passaggio 5.4.7

$\frac{x}{x^{2} + 1}$ e $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Passaggio 5.5

${(1 + x^{2})}^{2}$ e $\frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Passaggio 5.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.6.1

Elimina il fattore comune di ${(1 + x^{2})}^{2}$ e $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 5.6.1.1

Riordina i termini.

$\frac{2 x}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

Passaggio 5.6.1.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

Passaggio 5.6.1.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.6.1.3.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Passaggio 5.6.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

Passaggio 5.6.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}{1}}$

Passaggio 5.6.1.3.4

Dividi $(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}$ per $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Passaggio 5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x}{(x^{2} x + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Passaggio 5.6.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.6.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 5.6.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} x^{1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Passaggio 5.6.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x}{(x^{2 + 1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Passaggio 5.6.3.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Passaggio 5.6.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 x}{(x^{3} + x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Passaggio 5.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x}{x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Passaggio 5.6.6

Scomponi $x \sqrt{x^{2} + 2}$ da $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.6.1

Scomponi $x \sqrt{x^{2} + 2}$ da $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Passaggio 5.6.6.2

Scomponi $x \sqrt{x^{2} + 2}$ da $x \sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)}$

Passaggio 5.6.6.3

Scomponi $x \sqrt{x^{2} + 2}$ da $x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)$ .

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Passaggio 5.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

Passaggio 5.8

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ per $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Passaggio 5.9

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.9.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ per $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Passaggio 5.9.2

Sposta $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Passaggio 5.9.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Passaggio 5.9.4

Eleva $\sqrt{x^{2} + 2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

Passaggio 5.9.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.9.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

Passaggio 5.9.7

Riscrivi ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ come $x^{2} + 2$ .

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Passaggio 5.9.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 2}$ come ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.9.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.9.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.9.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.9.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.9.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

Passaggio 5.9.7.5

Semplifica.

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$