Calcolo Esempi

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 9 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$- 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 12 x^{2}$ da $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 12 x^{2}$ da $- 36 x^{3}$ .

$- 12 x^{2} (3 x) + 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $- 12 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $- 12 x^{2}$ da $- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} (- 1)$ .

$- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $4 x^{3} - 9 x^{4}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{1}{3}$ a $x$ .

$4 {(\frac{1}{3})}^{3} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$4 \frac{1^{3}}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{1}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$4 (\frac{1}{27}) - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.4

$4$ e $\frac{1}{27}$ .

$\frac{4}{27} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1^{4}}{3^{4}}$

Passaggio 4.2.2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1}{3^{4}}$

Passaggio 4.2.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{4}{27} - 9 (\frac{1}{81})$

Passaggio 4.2.2.1.8

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 4.2.2.1.8.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$\frac{4}{27} + 9 (- 1) \frac{1}{81}$

Passaggio 4.2.2.1.8.2

Scomponi $9$ da $81$ .

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Passaggio 4.2.2.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Passaggio 4.2.2.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{27} - 1 (\frac{1}{9})$

Passaggio 4.2.2.1.9

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{9})$ come $- (\frac{1}{9})$ .

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9}$

Passaggio 4.2.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $27$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{27} - \frac{3}{9 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{4}{27} - \frac{3}{27}$

Passaggio 4.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 3}{27}$

Passaggio 4.2.2.5

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{1}{27}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (\frac{1}{3}, \frac{1}{27})$

Passaggio 5